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a) "Klima an" in Deinem obigen Satz bedeutet, dass das grüne Lämpchen leuchtet an dem Frostsymbol leuchtet?

Richtig, Lampe an, Klima an

b) Ist dieses güne Lämpchen gleichbedeutend damit, dass der Kompressor der Klimaanlage läuft?

Nein, der Kompressor wird angetrieben und die Elektronik steuert ein Magnetventil bei Bedarf an, damit der Kompressor läuft, was im Winter eher selten ist, aber wie @wollerosekaufe schon sagte, für die Entfeuchtung der Luft unerlässlich und auch für die Klimaanlage gut, da die Dichtungen in der Klimaanlage nicht austrocknen können. Das größte Problem, wenn im Winter ausgeschaltete Klimaanlagen im Sommer wieder aktiviert werden, die Dichtungen sind ausgehärtet und die Klimaanlage hat Kühlmittelverlust. Bei Mercedes z.B. läuft auch im Winter bei ausgeschalteter Klima immer zwischendurch der Kompressor, um das Kühlmittel und das darin enthaltene Spezialöl in der Anlage umzuwälzen...

c) Warum leuchtet die Lampe der Klimaautomatik bei -10 °C Aussentemperatur, wenn die Temperatur im Innenraum auf 22 °C (Auto-Modus) eingestellt ist?

Weil Klimaanlage nicht Kühlanlage ist, ein Klima kann auch warm sein. 22 Grad im Winter bei -10 ist schön warm, aber im Sommer bei +35 eher kühl. Und wie gesagt, der Kompressor wird auch im Winter angesteuert. Eine Temperatur kann auch erreicht werden, indem feuchte Außenluft durch den Wärmetauscher erwärmt wird und dann mit der feuchten über den Verdampfer gekühlten und getrockneten Außenluft gemischt wird...