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Hallo Leute habe das Problem gefunden. 😁

Ab einem bestimmten Baujahr wurde im R56 eine Junction Box verbaut und in dieser Box befindet sich ein Kraftstoffpumpen Relais FEST verlötet.
Hierbei gibt es oft Probleme mit der Lötstelle. Am besten ihr schaut euch die Bilder an. Man sieht es kaum aber hat schon gereicht.

Jedenfalls Box ausgebaut die Lötstelle ausfindig gemacht und eine Brücke mit einem Kabel erstellt. Box wieder eingebaut und nachm dritten Orgeln sprang meine Kiste wieder an.

Sehr gut! 
Ich hatte Dir anfangs ja den Tipp mit Filter und Tankpumpe gegeben, weil ich selbst das ähnliche Problem meines MINIs damit gelöst zu haben glaubte. Dem war aber nicht so. Der einzige Unterschied: mein Auto läuft im Normalfall und einmal im Monat bleibt er dann aus heiterem Himmel einfach stehen.

Lange Rede - kurzer Sinn: ich habe auch recherchiert und bin (unabhängig von Dir) zum selben Ergebnis gekommen, dass das Problem in der Fuse Box bei den Relais und deren Lötstellen liegt.

Ich wollte mir aber eine neue Box kaufen - derzeit nirgendwo verfügbar, laut MINI hat man einen Rückstand von etwa 900 Stück, voraussichtlich verfügbar ab 2024    

Somit habe ich mich auch auf dieselbe Reparatur eingestellt, die Du hier so sauber präsentiert hast.
Morgen früh gehts los - ich berichte danach.

Grüße, Patrick